Theorie | 17.11.2016

Gibt es in der Volkswirtschaft Erhaltungsgrößen?

Saldenmechanischen Zusammenhänge kommen bei der Analyse makroökonomischer Zusammenhänge zweifellos eine große Bedeutung zu. Zu bezweifeln aber ist, dass diesen Zusammenhängen ein Status zukommt, der erlaubt, sie auf die Ebene mit den Erhaltungssätzen der Physik zu heben.

Ein jüngst im Makroskop erschienener Beitrag (hier) weist völlig zu Recht darauf hin, dass es neben fehlerhaften und irreführenden auch durchaus sinnvolle Anwendungen der Mathematik in der Volkswirtschaftslehre gibt. Zu den letzteren gehören ohne Zweifel die Gleichungen, die wesentliche makroökonomische Größen in Beziehung setzen. Zu bezweifeln ist jedoch die dort vorgetragene Auffassung, dass jenen Gleichungen ein Status zukomme, der sie auf eine Ebene mit den Erhaltungssätzen der Physik hebe. Diese Zweifel seien nachfolgend präzisiert.

Eine fundamentale makroökonomische Beziehung ist die, die – für eine geschlossene Volkswirtschaft – die Summe der Einkommen mit der Summe der Ausgaben aller Haushalte in einer Periode gleichsetzt. Das bedeutet nichts anderes als die Aussage, dass Haushalte nur mit anderen Haushalten Güter austauschen — üblicherweise nicht unmittelbar, sondern mittels Geld, unter dem man sich auch eine Form von Buchhaltung vorstellen kann, die Guthaben bzw. entsprechende Verbindlichkeiten aufzeichnet. Wenn H die Menge aller Haushalte ist, ei für das Einkommen und ai für die Ausgaben des Haushalts i steht, gilt

(1)     Ʃi εH ei = Ʃi εH ai

Bringt man die rechte Seite dieser Gleichung nach links und ordnet die ei und ai für jeden Haushalt einander zu, nimmt sie diese Form an:

(2)     Ʃi εH (ei – ai) = 0

Diese Form drückt den – für die Fan-Gemeinde der schwäbischen Hausfrau so schwer verständlichen – Sachverhalt aus, dass die Summe aller Überschüsse bzw. Defizite von Haushalten in einer Periode gleich null ist. In dem Maße, in dem Haushalte weniger ausgeben als sie einnehmen — vulgo: sparen — müssen andere mehr ausgeben als einnehmen — vulgo: sich verschulden. Findet letzteres nicht statt, führen Sparversuche lediglich zum Schrumpfen der Einkommensseite, sofern man nicht die im Inland nicht konsumierten oder gegen importierte getauschten Güter mittels Anschreiben, also eine Verschuldung der Abnehmer, im Ausland absetzen kann – was sozusagen die deutsche Lösung des Problems darstellt. Eine Einsicht, die ebenso wahr wie wertvoll ist und der man in der aktuellen finanz- und wirtschaftspolitischen Diskussion mehr Beachtung wünscht. Doch in welchem Verhältnis steht sie zu den Erhaltungssätzen der Physik?

Ich nehme den Satz von der Erhaltung der Energie und wende ihn zur Illustration des wesentlichen Punktes, an dem deutlich wird, dass den bilanziellen Identitäten die Tiefe der physikalischen Erhaltungssätze fehlt, auf ein klassisches Beispiel an: die Bewegung von Körpern in einem konservativen Feld (Genaueres dazu bieten Lehrbücher wie Marion 1970, 45-91, 243-290). In einem solchen Feld tritt alles, was die Körper an potentieller Energie (Lageenergie) gewinnen bzw. verlieren als Verlust bzw. Gewinn an kinetischer Energie (Bewegungsenergie) auf, sodass die Summe beider konstant ist:

(3)     Ekin + Epot = Const

Ein Anwendungsfeld dieser Gleichung ist die Himmelsmechanik, d. h. die Bewegung von Planeten und Kometen. Das dominierende Feld ist hierbei das Gravitationsfeld, das sich zwischen einem solchen und dem Zentralgestirn – der Sonne – aufbaut. Die Störungen, die sich aus der Interaktion der Planeten untereinander resultieren, kann man, da sie im Vergleich zu dem mit der Sonne aufgebauten Feld sehr klein sind, in erster Nähe vernachlässigen. Tatsächlich bewegt sich ein Planet am sonnennächsten Punkt seiner Bahn am schnellsten, d. h. er hat dort die größte kinetische Energie, die vom Quadrat seiner Geschwindigkeit abhängt, während er am sonnenfernsten Punkt am langsamsten ist, d. h. ein Teil seiner kinetische Energie hat sich in potentielle verwandelt. Johannes Kepler vermochte die Variation der Bahngeschwindigkeit bereits aus Tycho Brahes astronomischen Beobachtungsdaten zu erkennen, ohne jedoch ihren energetischen Hintergrund entschlüsseln zu können. Sein zweites Gesetz, demzufolge die Verbindungslinie zwischen Sonne und Planet in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht — d. h. wenn die Entfernung beider kurz ist, muss das durchlaufene Bogenstück der Bahn, das proportional zur Geschwindigkeit ist, länger sein —, ist jedoch eine Folge der Energieerhaltung. Während bei den sehr kreisähnlichen Planetenbahnen der kleinste und der größte Sonnenabstand und entsprechend die Geschwindigkeiten sich nur unwesentlich unterscheiden, zeichnen sich die Kometen mit ihren langgestreckten Bahnen durch einen extremen Kontrast dieser Größen aus.

Tatsächlich kann man bei Kenntnis einer Reihe von Parametern — Masse, Position und Geschwindigkeit der Körper zu einem Ausgangszeitpunkt t0 sowie des Gravitationsgesetzes und der Gravitationskonstanten — die Bahnen der Körper berechnen. Dazu kann man zur Differentialform der Gleichung übergehen

(4)     dEkin + dEpot = 0

wobei man die Ableitung nach der Zeit dt betrachtet oder den mit dem Erhaltungssatz äquivalenten Formalismus von Lagrange verwendet, der jedoch mathematisch zu anspruchsvoll ist, um ihn hier widerzugeben. Beide Wege erlauben es, unter Verwendung der Gleichungen, die die kinetische Energie in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit und die potentielle in Abhängigkeit von der Position definieren, zu einem Gleichungssystem überzugehen, das die Bahnkoordinaten in Beziehung zur Zeit setzt. Für die Bewegung zweier Körper ergeben sich daraus nur für bestimmte Konstellationen das erste und das dritte Keplersche Gesetz: die elliptischen Bahnen — im allgemeinen Fall sind es Kegelschnitte, von denen die Ellipsen eine Unterklasse bilden — und — näherungsweise, sofern die Masse des Planeten sehr klein gegenüber der Sonnenmasse ist — das konstante Verhältnis der Quadrate der Umlaufzeiten zu den Kuben der großen Halbachsen der Ellipsen. Nur das zweite Keplersche Gesetz gilt universell.

Wie verhält sich dieses schöne Ergebnis aus der Himmelsmechanik zur Mechanik der volkswirtschaftlichen Bilanzen? Kann man aus den Gleichungen (1) und (2) ableiten, wie sich die Ausgaben bzw. Einkommen weiter entwickeln werden? Sicher nicht! Doch woran liegt das?

Wenn man in Gleichung (2) die Summanden nach Vorzeichen sortiert und die positiven in der Größe U, die negativen der Größe V  sammelt und zur Differentialform übergeht, sieht das so aus

(5)     dU + dV = 0

D.h. für jedes noch so kurze Intervall ist, unter der Voraussetzung, dass der Gütertausch Transaktionscharakter besitzt, d. h. es nur vollständige Tauschhandlungen gibt, die Summe der Überschüsse und der Defizite (mit negativem Vorzeichen) gleich null. Man kann diese Differentialform über beliebige Zeiträume integrieren und erhält dabei immer nur Null, weil der Anfangswert (Integrationskonstante) immer null ist:

(6)     U + V = 0

Was nichts anderes heißt, als dass die Summe aller finanziellen Vermögen (Schulden sind Vermögen mit negativem Vorzeichen) immer null ist.

Die Gleichungen (5) und (6) sehen zwar so ähnlich aus wie (4) und (3), doch lenkt diese oberflächliche Ähnlichkeit von einer fundamentalen Differenz ab. Es ist nicht möglich, aus ihnen die zukünftige Entwicklung von Ausgaben bzw. Einkommen und Geldvermögen bzw. Schulden abzuleiten. Dies deshalb nicht, weil die Gleichheit von Einkommen und Ausgaben bzw. Überschüssen und Defiziten triviale Identitäten sind. Die einzige Erhaltung, die dabei stattfindet, ist die einer Banknote, wenn sie den Besitzer wechselt bzw. eines entsprechenden Betrags bei einer Buchung. Bei U und V bzw. e und a handelt es sich nicht um phänomenal unterschiedliche, durch weitere – einen zeitlichen Verlauf charakterisierende – Parameter gekoppelte Größen, sondern um buchhalterische Spiegelungen derselben Größe.

Während man aus dem Erhaltungssatz für die Energie, der tatsächlich eine tiefe Beziehung zwischen unterschiedlichen Größen beschreibt, die in dem diskutierten Beispiel durch die zeitabhängigen Bahnparameter Position und Geschwindigkeit gekoppelt sind, die Bewegungsgleichungen der Körper im Feld ableiten und bei Kenntnis der Anfangsbedingungen die effektiven Bahnen berechnen kann, ist im Falle der bilanziellen Gleichungen nichts dergleichen möglich. Auf profunde Erhaltungssätze nach dem Vorbild der Physik muss die Volkswirtschaftslehre deshalb weiterhin verzichten und sich mit der mageren Kost der bilanziellen Identitäten begnügen.


Literatur

Senner, Richard 2016: „Erhaltungsgrößen in der Volkswirtschaftslehre“, Makroskop, 8. Juni <https://makroskop.eu/2016/06/erhaltungsgroessen-der-volkswirtschaftslehre/>

Marion, Jerry B. 1970: Classical Dynamics of Particles and Systems. New York: Academic Press

Anmelden